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本文供初学者学习,供大佬批判。

补码背景

很久很久以前,当我参加 NOIP(信息学奥林匹克竞赛)的时候,老师是这么讲补码的:

int 型数据的最高位是符号位,符号位为 0 就代表这是正数,为 1 就是负数。但是,+0 和 -0 理应是同一个数,但在二进制中却表示成了两个不同的数(以 8 位为例,二进制表示): 00000000 和 10000000。所以,我们引入了补码,补码就是,对负数而言,符号位不变,其他位取反,然后再加 1。于是, -0 的补码就是 10000000 -> 11111111 -> 00000000 与 +0 一致了。

补码的意义

其实当时我就该意识到,仅仅为了 0 这一个数便创建了“补码”这个概念,未免太浪费了。我最近看了 CS: APP 这本书,才进一步理解了补码。

补码,就是为有符号整数而创建的概念。对于无符号整数,是不存在“补码”的概念的。我们先看一个无符号数 00100101,它是怎么转换成十进制的?加权求和,0×2^7+0×2^6+1×2^5+0×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=37;无符号数 10000011,1×2^7+0×2^6+0×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=131

对于有符号数呢?假如我们不用补码,那么有符号数 10000011,就是 -(0×2^6+0×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0)=-3。人这么算起来是挺舒服,但是计算机会很难受,凭什么我最高位的权值没了?只能做符号?

然后我们试试补码。10000011 的补码是 11111101,如何用补码求它的十进制呢?其实这跟无符号数是一样的,只不过,最高位的权值,不是 2^7,而是 -2^7。求值:1×(-2^7)+1×2^6+1×2^5+1×2^4+1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=-3,是不是很神奇?

对于正数而言,就更简单了,与无符号数一致。

补码再探

计算机只能做加法(不是),所以,我们看看用补码做加法,有什么好处。

先计算 -13+10 吧,很简单的二进制竖式加法:

7 6 5 4 3 2 1 0
1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 0 1

11111101 即为 -3 的补码。

再算一个,-8+9:

7 6 5 4 3 2 1 0
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1

神奇吗?最高位的 0 不见了,变成正数 1 了。

补码小结

补码,就是计算机内部有符号数的存储方式,我们不要认为补码是由原码“转换”而来的,补码本来就代表了实际的数字,11111101 == -3,就这样。